ΚΥΚΛΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

(πίσω)

Αν οι ρ1,ρ2,ρ3,......., ρν είναι άγνωστοι και δίνονται σχέσεις της μορφής


S1 = ρ1+ρ2+…+ ρν-1+ρν


S2 = ρ1*ρ2+ρ1*ρ3+…+ρ1*ρν+ρ2*ρ3+…+ρ2*ρν +…+ρ(ν-1)*ρν

S3 = ρ1*ρ2*ρ3+ρ1*ρ2*ρ4+…+ρ1*ρ2*ρν+…+ρ(ν-2)*ρ(ν-1)*ρν

… … …
Sν =  ρ1*ρ2*ρ3*…ρν-1*ρν

τότε οι ρ1, ρ2, ρ3, ........, ρν
προκύπτουν ως λύσεις τις εξίσωσης:

x^ν - S1*(x^(ν-1)) + S2*(x^(ν-2)) - S3*(x^(ν-3)) +..............+((-1)^ν)*Sν  = 0
<=>(χ-ρ1)*(χ-ρ2)*..........*(χ-ρν) = 0

(Τα S1,S2....Sν καλούνται και κυκλικά πολυώνυμα)

Συνήθως σε ασκήσεις εμφανίζονται 3 όροι (x,y,z) με την μορφή:

χ + y + z = S1

χ*y + y*z + z*χ = S2

χ*y*z = S3

αν ρ1, ρ2, ρ3 είναι οι λύσεις της
x^3 - S1*(x^2) + S2*x - S3 = 0
τότε :
ή x = ρ1       y = ρ2      z = ρ3
ή χ = ρ1       y = ρ3      z=  ρ2
ή χ = ρ2       y = ρ1      z = ρ3
ή χ = ρ2       y = ρ3      z=  ρ1
ή χ = ρ3       y = ρ1      z = ρ2
ή χ = ρ3       y = ρ2      z = ρ1